今天上课讨论的问题。

求证：任意一个位数为偶数的回文数，都可以被 $11$ 整除。

PS：此篇仅是笔者对于证明过程的理解，并不是标准的数学证明。

其实是因为笔者太太太菜了所以才需要这一篇文章来帮助理解的 qwq，相信这个简单的问题各位大佬们都没问题

这个证明分为两个部分。

Prat1

首先两位数的回文数一定是 $11$ 的倍数。为什么呢？观察可得。

我们知道两位的回文数一定是形如这样的：$aa$，$aa \div 11=a$。由于 $a$ 一定是一个大于 $0$ 小于 $10$ 的整数，所以可以证明两位数的回文数是可以被 $11$ 整除的。

那么，四位的回文数就可以被这么表示：

$\overline{abba}$

然后我们：

因为 $11\;|\;11\times 10b$，所以我们只需证明 $11\;|\;1001a$ 即可，也就是证明 $11\;|\;1001$。

再推广，假设我们已经证明了 $4$ 位的回文数是 $11$ 的倍数。

于是 $6$ 位的回文数就变成了这样：

于是我们只需要证明 $100001\;|\;11$。

…………

这么推下去的话，我们会发现，这个过程本来就是一个递归的过程，每一次都把两端的数字去掉后，可以从两位的回文串推回来证明这个去掉两段后的回文数能被 $11$ 整除。现在我们只需要证明一个问题，那就是：

求证：$\begin{matrix} \underbrace{ 100\cdots 001 } \\ 2n+2 \end{matrix}\;|\;11$，其中 $n$ 为正整数。

Part 2

法一（from ywy orz）

从上面的推导中我们可以发现中间的 $0$ 的个数一定是偶数。先列竖式。

（$\LaTeX$ 除法竖式贼不好打……建议还是在自己的本子上列……）

对齐不难发现：每进行一次减法之后，被除数就会少两个 $0$，这样，如果中间的 $0$ 的个数是偶数个，那么最后这些 $0$ 会被全部消失，剩下两个 $1$ 组成 $11$，于是它就可以被 $11$ 整除了。

法二（自己想出来的）

就这样吧。